Milanese, classe 1956, laureato in Bocconi in economia aziendale, schermidore eccellente (campione nazionale di fioretto nel 1977), Claudio Costamagna ha iniziato a lavorare in Citibank, per poi passare, nel 1985, a Montedison, ricoprendo l’incarico di direttore corporate finance per la holding. Nel 1988 entra nella banca d’affari Goldman Sachs, dove è stato per vent’anni ricoprendo dal 2004 al 2006 il ruolo di Presidente della divisione Investment Banking per Europa, Medio Oriente e Africa. Nel 2004 viene nominato dalla sua alma mater "Bocconiano dell’Anno".
Nel 2006 lascia Goldman Sachs e fonda la boutique di Financial Advisory CC & Soci Srl, della quale è Presidente. Sempre nel 2006 entra in Luxottica come amministratore indipendente. Qui conosce l’allora amministratore delegato, e oggi consigliere strategico del presidente del consiglio, Andrea Guerra. In quegli stessi anni si comincia a vederlo sempre più spesso accanto alla bellissima attrice francese Carole Bouquet. Una relazione considerata solida per diversi anni finchè negli ultimi tempi non si è cominciato a fotografarlo accanto ad Alberica Brivio Sforza. Nel 2012 Costamagna è diventato Presidente di Salini Impregilo, il principale gruppo italiano nella costruzione di infrastrutture. Sempre nello stesso anno, dopo esserne stato Consigliere di Amministrazione, viene nominato Presidente di AAA - Advanced Accelerator Applications, gruppo farmaceutico europeo specializzato nella medicina nucleare. Il suo prossimo impegno la presidenza di Cassa Depositi Prestiti dove dovrà garantire "la massima efficienza operativa, stabilità patrimoniale e adeguata redditività".