Quando la matematica trasforma in «gioco» la complessità della vita

Il Festival della Matematica ha fatto nascere nei nostri lettori il desiderio di saperne di più sulla Teoria dei Giochi. Essa è quella parte della Matematica che analizza situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni. Le prime applicazioni vennero nel corso della Seconda guerra mondiale e furono decisive per il calcolo delle quote di sgancio che i bombardieri dovevano adottare per ottenere i risultati di massima efficacia distruttiva. Un’altra applicazione fu lo studio dei percorsi dei convogli al fine di minimizzare le probabilità di intercettazioni nemiche; e furono così salvate innumerevoli navi dagli attacchi dei sommergibili nazisti. Il padre di questa matematica fu il grande von Neumann che studiò le situazioni di conflitto nate in condizioni di competitività: o si vince o si perde. È questa la competizione a «somma zero». Sono problemi che si presentano in settori molto diversi della nostra attività. Come diversi sono ad esempio quelli dell’economia e quelli della biologia (ricordiamo la «Teoria Matematica della lotta per la vita» di Vito Volterra), quelli dello sport e quelli della politica, della finanza, della sociologia, della psicologia e addirittura dell’ambiente. Senza dimenticare il settore più impegnativo: quello militare. Fu proprio in questo settore che von Neumann pubblicò il suo primo lavoro nel 1928 e che trovò le sue applicazioni nel corso della Seconda guerra mondiale.
Com’è facile dedurre da quanto esposto, la teoria sviluppata da von Neumann era essenzialmente per il caso in cui i giocatori sono in totale competizione tra loro. Il che vuol dire: il guadagno di uno corrisponde alla perdita dell’altro. I cosiddetti giochi a somma zero. Il grande von Neumann aveva visto possibili estensioni della sua teoria a condizioni diverse dalla somma zero. Esistono infatti situazioni di conflitto in cui però possono nascere condizioni di cooperazione.
Ho sentito per la prima volta parlare di Nash da von Neumann quando, oltre mezzo secolo fa, ero ai primi passi della mia attività e John von Neumann era uno dei fisici più famosi al mondo. Aveva dimostrato che quella formidabile nuova frontiera della Scienza - la cosiddetta Meccanica Quantistica - era una struttura matematica priva di contraddizioni. Era il padre del calcolo elettronico e aveva da poco pubblicato, insieme all’economista Oskar Morgenstern, un formidabile trattato sulla Teoria dei Giochi: il libro destinato a diventare la pietra miliare di quella teoria.
Il giovane Nash incontra von Neumann in quegli anni. La Teoria dei Giochi diventa il suo principale campo di attività senza perdere di vista altri settori della Matematica. Settori in cui ottiene importanti risultati. E che, come vedremo, furono origine delle sue cupe depressioni.
Il giovane Nash si appassiona alla teoria dei giochi e introduce concetti nuovi, soprattutto per considerare i casi nei quali, tra i giocatori, può nascere una qualche forma di cooperazione.
È così che Nash introduce il concetto di equilibrio per i giochi cooperativi. Il primo articolo di Nash The bargaining problem è pubblicato nel 1950 e ripreso l’anno dopo da Annals of Mathematics. Nash fa quindi passare la Teoria dei Giochi, e le corrispondenti formulazioni matematiche, da schemi di pura competizione (vincere o perdere) a schemi dove addirittura si possono avere delle trattative tra gli stessi giocatori. Il problema dell’equilibrio non è un dettaglio banale. Esso è di cruciale importanza. Se la situazione, competitiva o cooperativa, non è in equilibrio, l’interesse per l'analisi è molto modesto. Ecco perché Nash dedica la sua attenzione alle formulazioni matematiche dell’equilibrio per giochi cooperativi. Dopo molte iniziali critiche e diffidenze, si afferma il concetto di «equilibrio secondo Nash» per un gioco cooperativo e, più in generale, per una classe di sistemi complessi (che qui non possiamo descrivere). Gli economisti hanno visto nei suoi risultati un’importanza fondamentale per le teorie economiche. E ciò gli ha valso il Nobel.
Come si spiega allora l’entrata in periodi di cupa depressione? Forse la risposta sta nel fatto che questi lavori che gli valsero il Nobel non erano da Nash considerati la vetta della sua attività intellettuale. Il lavoro matematico più arduo in cui si impegnò Nash fu un altro: quello in cui stabilì la regolarità delle soluzioni di certe equazioni dette differenziali «paraboliche». Poco dopo avere pubblicato quel lavoro, Nash venne però a sapere che, un paio di mesi prima, un matematico italiano, Ennio De Giorgi, aveva pubblicato un risultato sulla regolarità delle equazioni differenziali «ellittiche», tema ancora più arduo da risolvere. Questo fatto amareggiò Nash e molto probabilmente contribuì a farlo entrare in un periodo di cupa depressione. Quando ne uscì, ecco cosa scrisse nell’autobiografia: «Accadde che lavorassi in parallelo con Ennio De Giorgi. Egli fu il primo a raggiungere la vetta».
In Scienza o si arriva primi o niente; esistono solo medaglie d’oro. Le medaglie d’argento e quelle di bronzo esistono nello sport. La Scienza è competizione rigorosamente a somma zero. Non perché chi vince uccide il nemico, ma in quanto arrivare primo sulla vetta vuol dire essere riuscito nell’impresa di dimostrare la propria eccellenza intellettuale.